Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時， ，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)，對字母a分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為分別求的最小值，及的最大值，利用導(dǎo)數(shù)，求其最大值即可.

試題解析：（1）．

若，則，在單調(diào)遞增．若，當(dāng)時， ；當(dāng)時， ．于是在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）方法1：當(dāng)時， ，即

因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以．

設(shè)， ，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減．故 ，所以．綜上， 的取值范圍為．

（2）方法2：設(shè)，則當(dāng)時， ．

由，得．

，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，所以．

若，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，故．因為，所以．

若，由， ，知在存在唯一零點，設(shè)為，則．

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增；故在有最小值，而．由得．

由（1）得在單調(diào)遞減，所以．

綜上， 的取值范圍為．