Question

已知動點P（p，-1），Q（p，1+

p2

2

），過Q作斜率為

p

2

的直線l，P Q中點M的軌跡為曲線C．
（1）證明：l經(jīng)過一個定點而且與曲線C一定有兩個公共點；
（2）若（1）中的其中一個公共點為A，證明：AP是曲線C的切線．

Answer 1

分析：（1）先用消參法求出P Q中點M的軌跡方程，再求出帶參數(shù)p的直線l的方程，與點M的軌跡方程聯(lián)立，再判斷△的大小，即可得到直線l與曲線C一定有兩個公共點，
（2）先解（1）中聯(lián)立方程組得到的一元二次方程，得到A點坐標，利用斜率公式求出AP的斜率，再用導(dǎo)數(shù)求出斜率，觀察兩者是否相等，即可得證．

解答：解：（1）直線l的方程是：y-1-

p2

2

=

p

2

(x-p)，即y=

p

2

x+1，經(jīng)過定點（0，1）；
又M（p，

p2

4

），設(shè)x=p，y=

p2

4

，消去p，得到的軌跡方程為：y=

x2

4

．
由

y= x2 4 y= p 2 x+1

有x²-2px-4=0，其中△=4p²+16，所以l經(jīng)過一個定點而且與曲線C一定有兩個公共點
（2）由x²-2px-4=0，設(shè)A（p+

p2+4

，

(p+ p2+4 )2

4

），
則kAP=

(p+ p2+4 )2 4 +1

p2+4

=

p+ p2+4

2

，
又函數(shù)y=

x2

4

的導(dǎo)函數(shù)為y=

x

2

，故A處的切線的斜率也是

p+ p2+4

2

，從而AP是曲線C的切線．對于另一個解同樣可證．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，特別是相交和相切關(guān)系，巧妙地利用韋達定理，導(dǎo)數(shù)的幾何意義可有效提高解題速度