Question

【題目】已知函數f（x）＝

（1）求f（x）＞0的解集；

（2）若x∈R時，恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（0，+∞）（2）[，+∞）

【解析】

（1）通過對f（x）求導，可得x∈R時，f′（x）≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，又f（0）＝0，x∈（0，+∞）時f（x）＞0，不等式得解；

（2）若x∈R時，恒成立，不等式轉化為2eex（x∈R），因為都是偶函數，所以只需x∈[0，+∞）時，2ee2x﹣1≥0成立即可，構造新的函數F（x）＝2ee2x﹣1，求導后再對導函數進行分類討論，可得實數m的取值范圍.

（1）因為f（x）＝，則f′（x）＝；

所以x∈R時，f′（x）≥0，

所以f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，又f（0）＝0，

所以x∈（﹣∞，0）時，f（x）＜0，

x∈（0，+∞）時f（x）＞0，

∴f（x）＞0的解集為（0，+∞）.

（2）因為x∈R時，2ee2x+1恒成立，

等價于恒成立，

即2eex（x∈R），

因為都是偶函數，

所以只需x∈[0，+∞）時，2ee2x﹣1≥0成立即可，

令F（x）＝2ee2x﹣1，F（0）＝0，

F′（x）＝2（2mx+1）e2e2x＝2e2x[（2mx+1）e1]，F′（0）＝0，

令G（x）＝（2mx+1）e1，G（0）＝0，

G′（x）＝2me（2mx+1）（2mx﹣1）e（4m2x2+2m﹣1）e

①當2m﹣1≥0，即m時，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上單調遞增，

又因為G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）時，G（x）≥0，即F′（x）≥0，

所以F（x）在[0，+∞）上單調遞增，又因為F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）時，F（x）≥0，所以m時滿足要求；

②當m＝0，x＝1時，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；

③當2m﹣1＜0且m≠0時，即m且m≠0時，x∈上單調遞減，

又因為G（0）＝0，所以x∈時，G（x）＜0，即F′（x）＜0，

所以F（x）在上單調遞減，

又因為F（0）＝0，所以x∈時，F（x）＜0，

所以m且m≠0時不滿足要求.

綜上所述，實數m的取值范圍是[，+∞）.