Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)（如圖），向量與向量=共線．
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)C（0，2），且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求△POC與△QOC面積之比的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量共線，確定a，b的關(guān)系，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得橢圓的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得比值的范圍．
解答：解：（1）由向量與向量=共線，可得
∵焦點(diǎn)為，∴a²-b²=8，∴b²=8，a²=16
∴橢圓的方程為；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且x₁＜0，x₂＞0，
PQ的方程為y=kx+2，代入橢圓方程消去y，可得（2+k²）x²+4kx-12=0
∴x₁+x₂=-①，x₁x₂=-②
設(shè)△POC與△QOC面積之比為λ，即
結(jié)合①②得（1-λ）x₁=-，λx₁²=-
∴=＞
∴
∴△POC與△QOC面積之比的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．