Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）討論f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再驗(yàn)證f（-x）與f（x）的關(guān)系，可得函數(shù)為奇函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)不等式的解集與方程解的關(guān)系，建立等式，從而可求a的值．

解答：解：（1）∵

1+x＞0 1-x＞0

，∴f（x）定義域?yàn)閤∈（-1，1）
∵f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)；
∵f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），
∴f(x)=loga

1+x

1-x

，
求導(dǎo)得f′(x)=

1-x

1+x

•logae•(

1+x

1-x

)′=

2

1-x2

logae，
①當(dāng)a＞1時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)；
（2）①當(dāng)a＞1時(shí)，∵f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)且為奇函數(shù)，不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}
∴f(

1

2

)=2，∴l(xiāng)og_a3=2，∴a=

3

；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
∵f（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)且為奇函數(shù)，不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}
∴f(-

1

2

)=2，∴loga

1

3

=2，∴a=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查解不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．