Question

【題目】如圖所示，球的表面積為，球心為空間直角坐標系的原點，且球分別與軸的正交半軸交于三點，已知球面上一點.

（1）求兩點在球上的球面距離；

（2）過點作平面的垂線，垂足，求的坐標，并計算四面體的體積；

（3）求平面與平面所成銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）根據題意求出，即可得到兩點在球上的球面距離；

（2）根據題意，可證與重合，利用向量可求，求出的面積，即可得到四面體的體積；

（3）利用空間向量可求面與平面所成銳二面角的大小..

詳解：

（1），

，，

∴

∴，

∴，

兩點在球上的球面距離；

（2），

面，，

，

∴，

∴，

∴與重合，

∴，

的面積，

則四面體的體積.

（3）設平面的法向量，

得得

平面的法向量，

設兩法向量夾角，，

所以所成銳二面角的大小為.