Question

（2006•靜安區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)y=f^-1（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=log_a（x-a），當(dāng)0＜a＜1時，求函數(shù)h（x）=f^-1（x）+g（x）在閉區(qū)間[a+2，a+3]上的最小值與最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)y=a^x+3a，根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的對應(yīng)關(guān)系，用y表示x后，可得函數(shù)y=f^-1（x）的解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷出h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在閉區(qū)間[a+2，a+3]上的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）設(shè)y=a^x+3a，則a^x=y-3a…（2分），
兩邊取對數(shù)得：x=log_a（y-3a）…（4分），
所以f^-1（x）=log_a（x-3a）…（6分）
（2）設(shè)h（x）=f^-1（x）+g（x），
則h(x)=loga(x2-4ax+3a2)，…（8分）
二次函數(shù)u=x²-4ax+3a²的對稱軸為x=2a＜2，
所以u=x²-4ax+3a²在x∈[a+2，a+3]上為增函數(shù)，…（10分）
當(dāng)x=a+2時，取得最小值4（1-a），
當(dāng)x=a+3時取得最大值3（3-2a）…（12分）
∵0＜a＜1從而可得
h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在閉區(qū)間[a+2，a+3]上的最小值與最大值分別為log_a3（3-2a），log_a4（1-a）…（14分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，反函數(shù)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)是綜合應(yīng)用，難度中檔．