Question

【題目】已知集合，若對于任意實數對，存在，使成立，則稱集合是“垂直對點集” .給出下列四個集合：

① ；

②；

③ ；

④.

其中是“垂直對點集”的序號是（ ）.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由題意可得：集合是“垂直對點集”，即滿足：曲線上過任意一點與原點的直線，都存在過另一點與原點的直線與之垂直，對①、②、③、④逐個分析即可.

由題意知，若集合是“垂直對點集”，則對于任意，存在，使成立，因此，

①，其圖象向左向右和軸無限接近，向上和軸無限接近，據冪函數的圖象和性質可知，在圖象上任取一點，連，過原點作的垂線必與的圖象相交，即一定存在點，使得成立，故是“垂直對點集”；

②，（），取，則不存在點（），滿足，因此不是“垂直對點集”；

③，其圖象過點，且向右向上無限延展，向左向下無限延展，據指數函數的圖象和性質可知，在圖象上任取一點A，連OA，過原點作的垂線必與的圖象相交，即一定存在點，使得成立，故是“垂直對點集”；

④，在圖象上任取一點，連，過原點作直線的垂線，因為的圖象沿軸向左向右無限延展，且與軸相切，因此直線總會與的圖象相交，故是“垂直對點集”，

綜上可得：只有①③④是“垂直對點集”．

故選：C