Question

【題目】已知，為拋物線上的相異兩點(diǎn)，且.

（1）若直線過，求的值；

（2）若直線的垂直平分線交軸與點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長公式，計(jì)算可得所求值；

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，以及直線方程，可得的坐標(biāo)，

設(shè)出直線的方程代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，化簡整理，結(jié)合基本不等式可得所求最大值．

解：（1）當(dāng)垂直于軸或斜率為零時(shí)，顯然不符合題意，所以可設(shè)直線的方程為，

代入方程，得

故

，

結(jié)合解得.

因此，.

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，，

則，，．

線段的垂直平分線的方程是，①

由題意知，是①的一個(gè)解，

所以線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，

且點(diǎn)坐標(biāo)為．

直線的方程為，

即，②

②代入得，即，③

依題意，，是方程③的兩個(gè)實(shí)根，且，

所以△，即．，，

，

點(diǎn)到線段的距離，

．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取得等號(hào)．

所以面積的最大值為．