Question

已知A、B、C是橢圓上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，BC過橢圓m的中心，且

（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線l（斜率存在時）與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，
設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）t∈（－2，4）

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將 轉(zhuǎn)化為k_DN•k=-1進(jìn)行求解.
(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)和向量的數(shù)量積為零得到a,b的值，得到橢圓的方程。
(2)設(shè)出直線與橢圓聯(lián)立方程組，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，和向量的等式得到參數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而利用判別式得到范圍。
解（1）∵過（0，0）
則
∴∠OCA=90°， 即 又∵
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得 
解得  c²=8，b²=4
∴橢圓m： 
（2）由條件D（0，－2） ∵M(jìn)（0，t）
1°當(dāng)k=0時，顯然－2<t<2 
2°當(dāng)k≠0時，設(shè)
  消y得
由△>0 可得    ①
設(shè)
則    
∴  
由 
∴  ②
∴t>1 將①代入②得   1<t<4
∴t的范圍是（1，4）
綜上t∈（－2，4）