Question

（2012•貴州模擬）已知P(2，2

3

)為圓O：x²+y²=25內(nèi)一點(diǎn)，過P作圓O的兩條相互垂直的弦，M、N分別為這兩條弦的中點(diǎn)，則四邊形OMPN面積的最大值為

8

．

Answer 1

分析：先計(jì)算圓心O到兩條相互垂直的弦的距離，再利用基本不等式，即可求得四邊形OMPN面積的最大值．

解答：解：∵圓O：x²+y²=25，∴圓心O坐標(biāo)（0，0），半徑r=5，
設(shè)圓心O到兩條相互垂直的弦的距離分別為d₁、d₂，
∵P(2，2

3

)
∴d₁²+d₂²=OP²=16
∵M(jìn)、N分別為這兩條弦的中點(diǎn)，
∴四邊形OMPN是矩形
∴四邊形OMPN面積為d₁d₂≤

1

2

（d₁²+d₂²）=8，當(dāng)且僅當(dāng)d₁=d₂時(shí)，四邊形OMPN面積的最大值為8
故答案為：8．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，以及基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．