Question

【題目】己知拋物線的頂點為,與軸的交點為,則直線稱為拋物線的伴隨直線.

(1)求拋物線的伴隨直線的表達式;

(2)已知拋物線的伴隨直線為,且該拋物線與軸有兩個不同的公共點,求的取值范圍.

(3)已知,若拋物線的伴隨直線為,且該拋物線與線段恰有1個公共點,求的取值范圍(直接寫出答案即可)

Answer 1

【答案】(1);(2);(3) 或.

【解析】

(1)先求拋物線的頂點為,再與拋物線軸的交點為,根據(jù)截距式即可得出伴隨直線方程.

(2)先求拋物線的頂點,與軸的交點為,將代入伴隨直線方程,解得,,再根據(jù)該拋物線與軸有兩個不同的公共點,用根的判別式列不等式,解得,結(jié)合,即可得出的取值范圍.

(3)根據(jù)拋物線的伴隨直線為,將拋物線化為,又因為該拋物線與線段恰有1個公共點,即則 或,代入數(shù)據(jù)求解即可.

解: (1)的頂點為,

與拋物線軸的交點為,

直線:,即,

所以拋物線的伴隨直線為: .

(2)已知拋物線的伴隨直線為,

頂點為,與軸的交點為,

在直線上,

所以,解得,

又因該拋物線與軸有兩個不同的公共點,

,所以,解得,

又因為,故且.

所以的取值范圍為.

(3)因為拋物線的伴隨直線為,

頂點,與軸的交點為,

,解得:,

所以拋物線可表示為: ,對稱軸為

又因為,

且該拋物線與線段恰有1個公共點

線段為:.

則 或

解得或 ,.

所以可得的取值范圍為或.