Question

（2012•成都一模）如圖1，△ABC是邊長為6的等邊三角形，

CD

=

1

3

CA

，

BE

=

1

3

BA

，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，線段AG交線段ED于點(diǎn)F．將△AED沿ED翻折，使平面AED丄平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖2的幾何體．
（I）求證：BC丄平面AFG
（II）求二面角B-AE-D的大�。�

Answer 1

分析：（I）根據(jù)平面幾何平行線的判定，可得DE∥BC，得△ADE是邊長等于4的等邊三角形．線段AG是等邊△ABC的高，翻折后得到折線AF和FG，可得AF⊥DE且FG⊥DE，從而DE⊥平面AFG，結(jié)合DE∥BC，可得BC丄平面AFG；
（II）分別以FG、FD、FA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得出A、B、E各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

AB

、

BE

的坐標(biāo)．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出平面ABE的一個(gè)法向量為

n

=（（1，

3

，-1），而平面ADE的一個(gè)法向量

m

=（1，0，0），算出

m

、

n

夾角的余弦，再結(jié)合圖形特征即可得到二面角B-AE-D的大�。�

解答：解：（I）圖1中，∵

CD

=

1

3

CA

，

BE

=

1

3

BA

，
∴DE∥BC，且DE=

2

3

BC=4．得△ADE是邊長等于4的等邊三角形，
∵G是BC的中點(diǎn)，得AG是等邊△ABC的中線
∴AG⊥BC，結(jié)合DE∥BC，得AG⊥DE
圖2中，∵AF⊥DE，F(xiàn)G⊥DE，AF、FG是平面AFG內(nèi)的相交直線
∴DE⊥平面AFG
∵DE∥BC，
∴BC丄平面AFG
（II）分別以FG、FD、FA所在直線為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
可得A（0，0，2

3

），B（

3

，-3，0），E（0，-2，0）
∴

AB

=（

3

，-3，-2

3

），

BE

=（-

3

，1，0）
設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z）
可得

n • AB = 3 x-3y-2 3 z=0 n • BE =- 3 x+y=0

，取x=1，得y=

3

，z=-1
∴平面ABE的一個(gè)法向量為

n

=（1，

3

，-1）
又∵

m

=（1，0，0）是平面ADE的一個(gè)法向量
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

5

5

結(jié)合圖形，可得二面角B-AE-D是一個(gè)鈍二面角
∴二面角B-AE-D的大小是π-arcsos

5

5

點(diǎn)評：本題以等邊三角形翻折的問題為例，求證線面垂直并求二面角的大小，著重考查了線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)和利用空間向量計(jì)算二面角的大小等知識，屬于中檔題．