Question

（2012•成都一模）設(shè)正方體ABC-A₁B₁C₁D₁ 的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A₁B₁上，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在棱AD、CD上，若EF=1，A₁E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z＞0），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A．EF∥平面DPQ
• B．二面角P-EF-Q所成角的最大值為

  π

  4

• C．三棱錐P-EFQ的體積與y的變化有關(guān)，與x、z的變化無關(guān)
• D．異面直線EQ和AD₁所成角的大小與x、y的變化無關(guān)

Answer 1

分析：由線面平行的判定定理，得A項(xiàng)正確；由二面角的定義和正方體性質(zhì)，可得B項(xiàng)沒有錯(cuò)誤；由線面垂直的判定與性質(zhì)，可得D項(xiàng)也正確．根據(jù)錐體體積公式和正方體的性質(zhì)，可得C項(xiàng)中三棱錐P-EFQ的體積與x、y大小無關(guān)，與z大小有關(guān)，故C項(xiàng)有錯(cuò)誤，由此即可得到本題的答案．

解答：解：對(duì)于A，因?yàn)槠矫鍰PQ外一直線EF平行于平面DPQ內(nèi)的直線DQ，
故EF∥平面DPQ，得A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，當(dāng)P點(diǎn)在AD上，由靠近點(diǎn)D的位置向A移動(dòng)的過程中，
二面角P-EF-Q的大小逐漸增大，直到當(dāng)P與A重合時(shí)，
二面角大小等于二面角A-A₁B₁-D，剛好等于

π

4

，故B正確；
對(duì)于C，由點(diǎn)Q到EF的距離等于2

2

，而EF=1，故S_△EFQ=

1

2

2

不變，
而隨著P在AD上運(yùn)動(dòng)，P到平面EFQ的距離為變量，從而使得三棱錐P-EFQ的
體積跟著變化，所以三棱錐P-EFQ的體積與x、y大小無關(guān)，與z大小有關(guān)，
由此可得C項(xiàng)有錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由線面垂直的判定定理，可得AD₁⊥平面A₁DCB₁，而直線EQ在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，
可得不論EQ怎樣運(yùn)動(dòng)，總有EQ與AD₁成90°的角，與x、y的變化無關(guān)，故D項(xiàng)正確．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體中的動(dòng)點(diǎn)，探索了線面位置關(guān)系、二面角的大小和錐體的體積，著重考查了空間角大小的求法、線面平行和線面垂直的證明等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．