Question

已知數(shù)列滿足，.

(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：(其中).

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先由求出，然后時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，即可證明在條件下數(shù)列是等比數(shù)列，將時(shí)的值代入也符合，即證；（2）先由（1）得到，然后寫出的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出；（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由累加法求其前項(xiàng)和為，再判斷與的關(guān)系.

試題解析：（1）證明：由，得，

當(dāng)時(shí)，，即，

所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

時(shí)，也符合，所以數(shù)列是等比數(shù)列；    .5分

（2），由（I）得，所以.

所以，

數(shù)列的前n項(xiàng)和

.                       10分

（3）證明：

 

所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以                     14分

考點(diǎn)：1、函數(shù)的構(gòu)造；2、等比數(shù)列的性質(zhì)；3、等比數(shù)列的前項(xiàng)和；4、累加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.