Question

已知函數(shù)F(x)=

3x-2

2x-1

，(x≠

1

2

)．
（I）求F(

1

2013

)+F(

2

2013

)+F(

3

2013

)+…+F(

2012

2013

)；
（II）已知數(shù)列滿(mǎn)足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ） 求證：a₁a₂a₃…a_n＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（I）證明F（x）+F（1-x）=3，利用倒序相加法，可得結(jié)論；
（II）證明{

1

an-1

}是以2為公差以

1

a1-1

=1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，即可得到結(jié)論．

解答：（I）解：因?yàn)镕（x）+F（1-x）=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=3
所以設(shè)S=F(

1

2013

)+F(

2

2013

)+F(

3

2013

)+…+F(

2012

2013

)（1）
S=F(

2012

2013

)+F(

2011

2013

)+F(

2010

2013

)+…+F(

1

2013

)（2）
（1）+（2）得：2S=3×2012
所以S=3018----------------（5分）
（II）解：由a_n+1=F（a_n），兩邊同減去1，得a_n+1-1=

an-1

2an-1

所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=2，
所以{

1

an-1

}是以2為公差以

1

a1-1

=1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
所以

1

an-1

=1+(n-1)×2=2n-1
所以an=

2n

2n-1

---------------（10分）
（III）證明：因?yàn)椋?n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1）
所以

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

所以（a₁a₂a₃…a_n）²＞

2

1

•

3

2

•…

2n+1

2n

=2n+1
所以a₁a₂a₃…a_n＞

2n+1

．----------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．