Question

已知α，β，γ成等差數(shù)列，且公差為

2π

3

，m為實(shí)常數(shù)，則sin²（α+m），sin²（β+m），sin²（γ+m）這三個(gè)三角函數(shù)式的算術(shù)平均數(shù)為

1

2

．

Answer 1

分析：先利用倍角公式的變形把次數(shù)由二次降為一次，再利用和角公式、差角公式來(lái)統(tǒng)一角，達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的．

解答：解：由題意，α=β-

2π

3

，γ=β+

2π

3

，
∴sin²（α+m），sin²（β+m），sin²（γ+m）這三個(gè)三角函數(shù)式的算術(shù)平均數(shù)為S=

1

3

[sin2(α+m)+sin2(β+m)+sin2(γ+m)]=

1

3

[sin2(β-

2π

3

+m)+sin2(β+m)+sin2(β+

2π

3

+m)]=

1

3

[

1-cos(2β- 4π 3 +2m)

2

+

1-cos(2β+2m)

2

+

1-cos(2β+ 4π 3 +2m)

2

]=

1

2

-

1

6

[cos(2β+2m-

4π

3

)+cos(2β+2m+

4π

3

)+cos(2β+2m)]=

1

2

-

1

6

[2cos(2β+2m)cos

4π

3

+cos(2β+2m)]=

1

2

-

1

6

[2cos(2β+2m)(-

1

2

)+cos(2β+2m)]=

1

2

．
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題的綜合性較高，對(duì)學(xué)生利用三角公式進(jìn)行三角恒等變換的能力要求較高．對(duì)考點(diǎn)的發(fā)散思維點(diǎn)撥：新課標(biāo)中的三角函數(shù)的考察要想推陳出新，可以不斷改變考察方式和考察角度．引導(dǎo)、歸納及預(yù)測(cè)：雖然大綱中對(duì)三角函數(shù)的要求近年來(lái)有所降低，但對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合性卻在提高，三角函數(shù)部分與其它章節(jié)的綜合也在意料之中．解題方法技巧：本題的關(guān)鍵是三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)時(shí)要及時(shí)調(diào)控變形方向，把握好“角的變化”、“函數(shù)名稱(chēng)的變化”、“運(yùn)算形式的變化”這三種三角變換的時(shí)機(jī)．