Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）在曲線C上，點(diǎn)M與定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到直線m：x=4的距離的比是

1

2

．
（1）求曲線C的方程；
（2）點(diǎn)E（-1，0），∠EMF的外角平分線所在直線為l，直線EN垂直于直線l，且交FM的延長線于點(diǎn)N．試求點(diǎn)P（1，8）與點(diǎn)N連線的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)到直線的距離公式與兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合題意建立關(guān)于x、y的等式，化簡(jiǎn)整理得

x2

4

+

y2

3

=1，即為所求曲線C的方程；
（2）根據(jù)曲線C的方程利用橢圓的定義，結(jié)合題意算出點(diǎn)N的軌跡是以F為圓心、4為半徑的圓，可得圓心F到直線PN的距離小于等于半徑，因此設(shè)出直線NP方程并利用點(diǎn)到直線的距離公式列式，解之即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M到直線m：x=4的距離為d，
根據(jù)題意，可得

|MF|

d

=

1

2

，
即

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，化簡(jiǎn)得

x2

4

+

y2

3

=1．
∴曲線C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；    
（2）由（1）得曲線C是E（-1，0）、F（1、0）為焦點(diǎn)的雙曲線，2a=4．
根據(jù)題意，可知|ME|=|MN|，
∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4
∴點(diǎn)N的軌跡是以F（1，0）為圓心，4為半徑的圓．
又∵直線PN的方程為：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0．
∴圓心F到直線PN的距離d小于等于半徑，可得

|k+8-k|

k2+1

≤4，
解之得k≤-

3

或k≥

3

，可得斜率k的取值范圍是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件，求M的軌跡方程并依此求動(dòng)直線斜率的取值范圍．著重考查了直線的基本量與基本形式、兩點(diǎn)間的距離公式與點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．