Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）和N（-4，y）滿足

OM

⊥

ON

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若過點(diǎn)D（1，-1）的直線與軌跡交C于A、B兩點(diǎn)，且D為線段AB的中點(diǎn)，求此直線的方程．

Answer 1

分析：（1）先將條件：“

OM

⊥

ON

“化簡即得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設(shè)條件A、B兩點(diǎn)在拋物線上．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y所以直線方程為y=-2x+1，由此可知此直線的方程．

解答：解：（1）因M（x，y），N（-4，y），
滿足

OM

⊥

ON

，所以-4x+y²=0，
即：y²=4x，即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）由題意得AB與x軸垂直，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題設(shè)條件A、B兩點(diǎn)在拋物線上．
y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
兩式相減得：y₁²-y₂²=4x₁-4x₂
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得y₁+y₂=-2，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-2，
所以直線方程為y=-2x+1．

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一   求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系，求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法．本題是利用的直接法．直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．