Question

已知向量，，其中ω＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=2，已知f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=log₂f（x），求g（x）的定義域和單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）證明：直線x=是g（x）圖象的一條對稱軸．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積運算公式以及兩角和與差的正弦函數(shù)求出函數(shù)f（x）的表達式，再結(jié)合f（x）的最小正周期為π求出ω即可得到f（x）的解析式；
（2）先根據(jù)真數(shù)大于0結(jié)合三角函數(shù)的圖象求出函數(shù)的定義域；再結(jié)合符合函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．（注意是在定義域內(nèi)）
（3）設(shè)在g（x）的定義域中，可得也在g（x）的定義域中；只需要證明即可說明結(jié)論．
解答：解：（1）=
∵ω＞0，
∴，
∴ω=1，
∴
（2），
由得：，
∴
∴，
即g（x）的定義域為
∴，
故增區(qū)間為．
（3）設(shè)在g（x）的定義域中，則對一切k∈Z，有，
∴
∴
∴點也在g（x）的定義域中．
又 ，
∴，故g（x）的圖象關(guān)于直線對稱．
點評：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算以及兩角和與差的正弦函數(shù)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．在涉及到對數(shù)函數(shù)問題時，一定要注意定義域的限定，避免出錯．