Question

【題目】已知函數(shù)．

當時，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；

若不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的證明的定義法，取值，做差，若， ，判符號；（2）方法一，將問題等價于 恒成立，轉(zhuǎn)化為軸動區(qū)間定的問題；方法二，變量分離，轉(zhuǎn)化為 恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.

（1）當時，，此時在上單調(diào)遞增，證明如下：

對任意的，，若，

，

由，故有：，，

因此：，，

故有在上單調(diào)遞增；

（2）方法一：不等式在上恒成立

，

取，對稱軸

當時，對稱軸，

∴在上單調(diào)遞增， ，

故滿足題意，

當時，對稱軸，

又在上恒成立，

故

解得：，

故

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

方法二：不等式在上恒成立

。

取

由結(jié)論：定義在上的函數(shù)，當且僅當時取得最小值.

故 。

當且僅當，即時函數(shù)取得最小值.

故，即實數(shù)的取值范圍為.