Question

設(shè)（

2

2

+x）²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ，則

lim

n→∞

[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅…+a_2n-1）²]=

0

．

Answer 1

分析：本題因為求極限的數(shù)為二項式展開式的奇數(shù)項的系數(shù)和的平方與偶數(shù)項的系數(shù)和的平方的差，故可以把x賦值為1代入二項展開式中A=(1+

2

2

)2n=a0+a1+…+a2n，x=-1可得，B=(

2

2

-1)2n=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n，而求極限的數(shù)由平方差公式可以知道就是式子A與B的乘積，代入后由平方差公式即可化簡為求得答案．

解答：解：令x=1可得，(1+

2

2

)2n=a0+a1+…+a2n
x=-1可得，(

2

2

-1)2n=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n
所以（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）²
=（a₀+a₁+…+a_2n）（a₀-a₁+…-a_2n-1）
=(1+

2

2

)2n•(1-

2

2

)2n=(

1

4

)n
則

lim

n→∞

[（a₀+a₂+a₄+…+a_2n）²-（a₁+a₃+a₅…+a_2n-1）²]=

lim

n→∞

1

4n

=0
故答案為：0

點評：本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用問題，主要是二項式系數(shù)和差的考查，并兼顧考查了學(xué)生的計算能力與劃歸能力以及求極限問題．