Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對(duì)角線MN過C點(diǎn)，已知|AB|=3米，|AD|=2米．
（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最�。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)出AN的長(zhǎng)為x米，因?yàn)槿�角形DNC∽三角形ANM，則對(duì)應(yīng)線段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面積令其大于32得到關(guān)于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）解法1：利用a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法求出S的最大值即可；
解法2：求出S′=0時(shí)函數(shù)的駐點(diǎn)，討論函數(shù)的增減性得出函數(shù)的最大值即可．

解答：解：（1）解：設(shè)AN的長(zhǎng)為x米（x＞2）
由題意可知：∵

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

∴

x-2

x

=

3

|AM|

∴|AM|=

3x

x-2

∴SAMPN=|AN|•|AM|=

3x2

x-2

由S_AMPN＞32得

3x2

x-2

＞32，
∵x＞2
∴3x²-32（x-2），即（3x-8）（x-8）＞0（x＞2）
解得：2＜x＜

8

3

或x＞8
即AN長(zhǎng)的取值范圍是(2，

8

3

)∪(8，+∞)
（2）解法一：∵x＞2，
∴SAMPN=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

=3(x-2)+

12

x-2

+12≥2

3(x-2) 12 x-2

+12=24(10分)
當(dāng)且僅當(dāng)3(x-2)=

12

x-2

，即x=4時(shí)，取“=”號(hào)
即AN的長(zhǎng)為4米，矩形AMPN的面積最小，最小為24米．
解法二：∵S=

3x2

x-2

(x＞2)∴S′=

6x(x-2)-3x2

(x-2)2

=

3x2-12x

(x-2)2

=

3x(x-4)

(x-2)2

令S'=0得x=4
當(dāng)2＜x＜4時(shí)，S'＜0當(dāng)x＞4時(shí)S'＞0
當(dāng)x=4時(shí)，S取極小值，且為最小值．
即AN長(zhǎng)為4米時(shí)，矩形AMPN的面積最小，最小為24平方米．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．以及用a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)的方法求最值的能力．