Question

已知函數f（x）=2asin²x+2（a＞0，x∈R），當x∈[0，]時，其最大值為6，最小值為3，
（1）求函數的最小正周期；
（2）求a，b的值；
（3）此函數的圖象，可由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡整理，然后利用正弦函數的性質求得函數的最小正周期．
（2）根據正弦函數的單調性和x的范圍，進而求得函數的最大和最小值，列出關于a，b的方程，解方程即可．
（3）分為四個步驟：①將y=sinx向右平移，②縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话擘蹤M坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼亩�倍④向上平�?個單位→y=2sin（2x-）+4．
解答：解：f（x）=2asin²x+2asinxcosx+a+b
=a（1-cos2x）+asin2x+a+b
=2asin（2x-）+2a+b （5分）
（1）T=π（7分）
（2）x∈[0，]時，
2x-∈[-，]則有：sin（2x-）∈[-，1]，
由條件：a+b=3，4a+b=6，則 a=1，b=2為所求．（11分）
（3）①將y=sinx向右平移→y=sin（x-），
②縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话搿鷜=sin（2x-），
③橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼亩�倍→y=2sin（2x-）+4
④向上平移4個單位→y=2sin（2x-）+4．（14分）
也可以先伸縮后平移，酌情給分．
點評：本小題考查三角函數中的誘導公式、特殊角三角函數值、兩角差公式、倍角公式、函數y=Asin（ωx+φ）的性質等基礎知識，考查基本運算能力．