Question

橢圓C經(jīng)過點P（3，0），Q（0，-1）
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程，并求出橢圓C的長軸長、短軸長、離心率和焦點坐標．
（Ⅱ）設直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點，求線段AB的中點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為P（3，0），Q（0，-1）在坐標軸上，由橢圓標準方程定義易得a、b的值，進而求得橢圓C的長軸長、短軸長、離心率和焦點坐標
（Ⅱ）將直線與橢圓聯(lián)立，運用韋達定理，設而不求的技巧，易得線段AB的中點坐標

解答：解：（Ⅰ）由已知可得a=3，b=1，∴c=

a2-b2

=2

2

橢圓的標準方程為

x2

9

+y2=1，
長軸長2a=6，短軸長 2b=2．
離心率e=

c

a

=

2 2

3

．
    焦點為(2

2

，0)，(-2

2

，0)．
（Ⅱ）

x2 9 +y2=1 y=x+2

得出10x²+36x+27=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點坐標為（x₀，y₀）
則x₁+x₂=-

18

5

，x₀=

x1+x2

2

=-

9

5

，y₀=x₀+2=

1

5

∴線段AB的中點坐標為(-

9

5

，

1

5

)

點評：本題考查了橢圓標準方程的定義和求法，橢圓的幾何意義，及直線與橢圓的關系，簡單運用韋達定理，設而不求解決問題，屬基礎題