Question

【題目】如圖，三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面平面，把平面沿旋轉(zhuǎn)至平面的位置，記點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（不在平面內(nèi)），、分別是、的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接、，利用面面垂直的性質(zhì)定理得出平面，可得出，利用勾股定理計(jì)算出，推導(dǎo)出是以為直角的直角三角形，再由中位線的性質(zhì)得出，由此可得出；

（2）由的面積為定值，可知當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，連接、，推導(dǎo)出平面，計(jì)算出、以及的面積，然后利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.

（1）如圖，連接、，

因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，平面，所以．

因?yàn)?/span>為邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，

又，所以由勾股定理可得，

又，，，

，則，，

所以為直角三角形，且，

又、分別是、的中點(diǎn)，所以，所以；

（2）如圖，連接、，

因?yàn)槿�棱錐與三棱錐為同一個(gè)三棱錐，且的面積為定值，

所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，則平面平面，

，則，為的中點(diǎn)，則，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為，

在中，因?yàn)?/span>，，所以，

所以的最大值為，

所以三棱錐的體積的最大值為．