Question

已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且滿足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，求i值；
（3）是否存在常數(shù)k，使得數(shù)列{

Sn+kn

}為等差數(shù)列，若存在，求出常數(shù)k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a₂+a₄=18，利用韋達(dá)定理得到a₂，a₄二次方程的兩個(gè)根，求出兩個(gè)根，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)列出方程組，求出首項(xiàng)與公差，求出通項(xiàng)．
（2）利用（1）中求出的通項(xiàng)求出a₁，a_i，a₂₁，根據(jù)它們成等比數(shù)列；列出方程求出i的值．
（3）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n，假設(shè)存在k，使數(shù)列為等比數(shù)列，求出數(shù)列的前三項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，列出方程求出k的值．

解答：解：（1）解：{a_n}為等差數(shù)列，
∴a₁+a₅=a₂+a₄=18，
又a₂•a₄=65，∴a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的兩個(gè)根
又公差d＞0，∴a₂＜a₄，∴a₂=5，a₄=13．
∴

a1+d=5 a1+3d=13

∴a₁=1，d=4
∴a_n=4n-3．（5分）
（2）由1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，∴a₁•a₂₁=a_i²，
即1×81=（4i-3）²，
解得i=3．
（3）由（1）知，Sn=n+

n(n-1)

2

×4=2n2-n，
假設(shè)存在常數(shù)k，使數(shù)列{

Sn+kn

}為等差數(shù)列，
由

S1+k

+

S3+3k

=2

S2+2K

，
得

1+k

+ 

15+3k

=2

6+2k

，
解得k=1．
∴

Sn+kn

= 

2n2

=

2

n此時(shí)有

2

n-

2

(n-1)=

2

，數(shù)列{

Sn+kn

}為等差數(shù)列．
所以存在常數(shù)k使得數(shù)列{

Sn+kn

}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，常利用首項(xiàng)、公差、公比圍繞通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，列方程解；解決是否存在這種開(kāi)放型的題目，一般假設(shè)存在去求，求出即存在．