Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的對稱軸上的定點M（m，0）（m＞0），作直線AB與拋物線相交于A，B兩點．
（1）試證明A，B兩點的縱坐標之積為定值；
（2）若點N是定直線l：x=-m上的任意一點，分別記直線AN，MN，BN的斜率為k₁、k₂、k₃，
試求k₁、k₂、k₃之間的關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線AB的方程為：x=ty+m與y²=2px聯(lián)立得y²=2px，x=ty+m，消去x得y²-2pty-2pm=0，再由韋達定理得y₁•y₂為定值；
（2）三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，證明如下：設點N（-m，n），則直線AN的斜率為；直線BN的斜率為，由此能夠推導出k_AN+k_BN=2k_MN，即直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列．
解答：解：（1）證明：．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有y₁•y₂=-2pm，下證之：
設直線AB的方程為：x=ty+m與y²=2px聯(lián)立得y²=2px
x=ty+m，消去x得y²-2pty-2pm=0（4分）
由韋達定理得y₁•y₂=-2pm，（6分）
（2）解：三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，（9分）
下證之：
設點N（-m，n），則直線AN的斜率為；
直線BN的斜率為
∴
=
=
=（13分）
又∵直線MN的斜率為（14分）
∴k_AN+k_BN=2k_MN，即直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列． （15分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要注意公式的合理運用．