Question

（2012•江蘇二模）已知an=(1+

2

)n(n∈N*)．
（1）若an=a+b

2

(a，b∈Z)，求證：a是奇數(shù)；
（2）求證：對于任意n∈N^*，都存在正整數(shù)k，使得an=

k-1

+

k

．

Answer 1

分析：（1）利用二項式定理將a_n=(1+

2

)n（n∈N^*）展開，可求得a=

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…，從而可證a是奇數(shù)；
（2）由設a_n=(1+

2

)n=a+b

2

（a，b∈Z），可求得(1-

2

)n=a-b

2

（a，b∈Z），從而可得a²-2b²=（1-2）ⁿ，對n分n為偶數(shù)與n為奇數(shù)討論即可．

解答：解：（1）由二項式定理，得a_n=(1+

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

2

)1+

C

2 n

(

2

)2+

C

3 n

(

2

)3+…+

C

n n

(

2

)n，
又a_n=a+b

2

（a，b∈Z），
∴a=

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…，
∵2

C

2 n

+2²

C

4 n

+…為偶數(shù)，
∴a是奇數(shù)．…（4分）
證明：（2）由（1）設a_n=(1+

2

)n=a+b

2

（a，b∈Z），
則(1-

2

)n=a-b

2

（a，b∈Z），…（5分）
∴a²-2b²=（a+b

2

）（a-b

2

）=(1+

2

)n•(1-

2

)n=（1-2）ⁿ，…（6分）
當n為偶數(shù)時，a²=2b²+1，存在k=a²，使得a_n=a+b

2

=

a2

+

2b2

=

k

+

k-1

，…（8分）
當n為奇數(shù)時，a²=2b²-1，存在k=2b²，使得a_n=a+b

2

=

a2

+

2b2

=

k-1

+

k

，…（9分）
綜上，對于任意n∈N^*，都存在正整數(shù)k，使得a_n=

k-1

+

k

．   …（10分）

點評：本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，著重考查二項式定理的綜合應用，（2）中證明a²-2b²=（1-2）ⁿ是關鍵，也是難點，考查深刻理解題意與靈活轉換的能力，屬于難題．