Question

已知f(x)=

ax2+2

b-3x

是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f(2)=-

5

3

．
（1）求a，b的值；
（2）請(qǐng)用函數(shù)單調(diào)性的定義說明：f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=-f（x）可求b，f(2)=-

5

3

，可求a；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義任取1＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），判斷符號(hào)；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性即可求得f（x）的值域．

解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得：b=0，由f(2)=-

5

3

得a=2…..（4分）
（2）f(x)=-

2

3

(x+

1

x

)在（1，+∞）上為減函數(shù)．
證明：任取1＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=-

2

3

(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)…（8分）
（3）同理，f（x）在（0，1）遞增∴x＞0時(shí)，f(x)≤f(1)=-

4

3

，
又f（x）為奇函數(shù)，∴x＜0時(shí)f(x)≥

4

3

，
綜上所述，f（x）的值域?yàn)?span id="y1rozxt" class="MathJye">(-∞，-

4

3

]∪[

4

3

，+∞)…（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，重點(diǎn)考查學(xué)生理解函數(shù)奇偶性單調(diào)性及靈活應(yīng)用之求值域，解決的方法是特值法與函數(shù)單調(diào)性的定義法，屬于中檔題．