Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）若，關于的不等式恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為， 的極大值，無極小值;(2) 的最小值為1.

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，并求定義域上導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，進而確定單調(diào)區(qū)間及極值，（2）不等式恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為研究對應函數(shù)最值，即,先根據(jù)導函數(shù)零點情況分類討論：當時， ，無最大值，當時函數(shù)先增后減，因此的最大值為，即得，由于時， 成立，因此的最小值為1.

試題解析：（1）∵時， ，

∴，

∴； ， ，

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為， 的極大值，無極小值.

（2）∵，

∴，

當時， 恒成立， 單調(diào)遞增，無最大值，

∵恒成立，∴不成立.

當時，∴， ； ，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增區(qū)間上單調(diào)遞減，

的最大值為，即，

∵，∴顯然， 時， 成立的，

∴的最小值為1.