Question

已知函數(shù)f(x)=

x

a

+1nx，其中a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間（0．e]上的最大值為2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=-1時(shí)代入函數(shù)f(x)=

x

a

+1nx，求導(dǎo)，令f′（x）＞0求出函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）＜0求出函數(shù)的減區(qū)間；
（2）對(duì)方程f'（x）=0有無(wú)實(shí)根，和有根，根是否在區(qū)間（0，e]內(nèi)進(jìn)行討論，求得函數(shù)的極值，確定函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lnx-x
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，
∴函數(shù)f（x）增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）f′（x）=

1

a

+

1

x

=

a+x

ax

①當(dāng)a＜0時(shí)，x＞0，∴f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在（0．e]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e）=2
∴

e

a

+1=2
∴a=e符號(hào)題意；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0得x=-a，
1°若0＜-a≤e，即-e≤a＜0時(shí)
∴f（x）_max=f（-a）=2
∴-1+ln（-a）=2，
∴a=-e^{2不符號(hào)題意，舍去；}
2°若-a＞e，即a＜-e時(shí)，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函數(shù)，
故f（x）_max=f（e）=2
∴a=e不符號(hào)題意，舍去；
故a=e．

點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和分類(lèi)討論的思想方法，注意函數(shù)的定義域；屬難題．