Question

設(shè)f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是奇函數(shù)，求a與b的值；
（3）當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時，研究是否存在這樣的實數(shù)集的子集D，對任何屬于D的x、c，都有f（x）＜c²-3c+3成立？若存在試找出所有這樣的D；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）舉出反例即可，只要檢驗f（-1）≠-f（1），可說明f（x）不是奇函數(shù)；
（2）由題意可得f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對定義域內(nèi)任意實數(shù)x成立．整理可求a，b
（3）當(dāng)

a=1 b=2

時，f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求f（x），由二次函數(shù)的性質(zhì)可求c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

，可求
當(dāng)

a=-1 b=-2

時，f(x)=

-2x-1

2x+1-2

=-

1

2

+

1

1-2x

 (x≠0)，當(dāng)x＞0時，f(x)＜-

1

2

；當(dāng)x＜0時，f(x)＞

1

2

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求c²-3c+3的范圍，即可求解

解答：解：（1）舉出反例即可．f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)；（4分）
（2）f（x）是奇函數(shù)時，f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對定義域內(nèi)任意實數(shù)x成立．（1分）
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關(guān)于x的恒等式，所以

2a-b=0 2ab-4=0

所以

a=-1 b=-2

或

a=1 b=2

．     經(jīng)檢驗都符合題意．（3分）
（3）（本小題評分說明：這里給出的是滿分結(jié)論，對于寫出部分解答的考生，應(yīng)視答題正確程度適當(dāng)給分，具體標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合考生答題情況制訂細(xì)則）
當(dāng)

a=1 b=2

時，f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
因為2^x＞0，
所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；（2分）
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

對任何實數(shù)c成立；
所以可取D=R對任何x、c屬于D，都有f（x）＜c²-3c+3成立．（3分）
當(dāng)

a=-1 b=-2

時，f(x)=

-2x-1

2x+1-2

=-

1

2

+

1

1-2x

 (x≠0)，
所以當(dāng)x＞0時，f(x)＜-

1

2

；
當(dāng)x＜0時，f(x)＞

1

2

； （2分）
1）因此取D=（0，+∞），對任何x、c屬于D，都有f（x）＜c²-3c+3成立．（1分）
2）當(dāng)c＜0時，c²-3c+3＞3，解不等式-

1

2

+

1

1-2x

≤3得：x≤log2

5

7

．
所以取D=(-∞，log2

5

7

]，對任何屬于D的x、c，都有f（x）＜c²-3c+3成立． （2分）．

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，及奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵