Question

給定橢圓： ，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直，并說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ)，；(Ⅱ)垂直.

試題分析：(Ⅰ)利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，利用短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為，求出，解出，，寫出橢圓方程，通過(guò)得到的，求出準(zhǔn)圓的半徑，直接寫出準(zhǔn)圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時(shí)，②當(dāng)的斜率都存在時(shí).
試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，
所以橢圓方程為.                  2分
易知準(zhǔn)圓半徑為，
則準(zhǔn)圓方程為.                     4分
(Ⅱ)①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時(shí)，
不妨設(shè)的斜率不存在，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020856095314.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為，
當(dāng)的方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，，
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是或，
即為或，顯然直線垂直；           6分
同理可證直線的方程為時(shí)，直線也垂直．      7分
②當(dāng)的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中.
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，
由消去，得.
由化簡(jiǎn)整理得，.  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020856563633.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以有.                10分
設(shè)直線的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020855752430.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以滿足方程，
所以，即垂直．                  12分
綜合①②知，垂直．                       13分