Question

設(shè)a，b，c∈（0，1），則a（1-b），b（1-c），c（1-a）（　　）

• A、都不大于

  1

  4

• B、都不小于

  1

  4

• C、至少有一個不大于

  1

  4

• D、至少有一個不小于

  1

  4

Answer 1

分析：先假設(shè)a（1-b），b（1-c），c（1-a）都大于

1

4

，即

a(1-b)

＞

1

2

，

b(1-c)

＞

1

2

，

c(1-c)

＞

1

2

，將三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

＞

3

2

，又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a(1-b)

≤ 

a+1-b

2

，

b(1-c)

≤

b+1-c

2

，

c(1-a)

≤

c+1-a

2

，三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

≤

3

2

得出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即可得到正確選項(xiàng)．

解答：解：假設(shè)a（1-b），b（1-c），c（1-a）都大于

1

4

即a（1-b）＞

1

4

，b（1-c）＞

1

4

，c（1-a）＞

1

4

，
∴

a(1-b)

＞

1

2

，

b(1-c)

＞

1

2

，

c(1-c)

＞

1

2

將三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

＞

3

2

又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a(1-b)

≤ 

a+1-b

2

，

b(1-c)

≤

b+1-c

2

，

c(1-a)

≤

c+1-a

2

三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

≤

3

2

所以假設(shè)不成立，
故選C．

點(diǎn)評：本題考查不等式的性質(zhì)和應(yīng)用、反證法，解題時(shí)要注意均值不等式的合理運(yùn)用．