（14分）（2011•廣東）設(shè)a＞0，討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的單調(diào)性．
見解析
解析試題分析：求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），討論a=1，a＞1與0＜a＜1三種情形，然后利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系求出單調(diào)性．
解：定義域{x|x＞0}
f′（x）=
=
設(shè)g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，則g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②若a＞1則2a（1﹣a）＜0，g（x）的圖象開口向下，
此時△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0
方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根為x1=
，x2=
且x1＜0＜x2
∴在（0，）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
③若0＜a＜1則2a（1﹣a）＞0，g（x）的圖象開口向上，
此時△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）
可知當(dāng)
≤a＜1時，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜
時，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根滿足
＞
＞0
故在（0，）和（
，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（
，）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
點評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
記函數(shù)fn(x)＝a·xn－1(a∈R，n∈N*)的導(dǎo)函數(shù)為f′n(x)，已知f′3(2)＝12.
(1)求a的值；
(2)設(shè)函數(shù)gn(x)＝fn(x)－n2ln x，試問：是否存在正整數(shù)n使得函數(shù)gn(x)有且只有一個零點？若存在，請求出所有n的值；若不存在，請說明理由；
(3)若實數(shù)x0和m(m>0且m≠1)滿足
＝
，試比較x0與m的大小，并加以證明．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
滿足如下條件：當(dāng)
時，
，且對任
意
，都有
.
（1）求函數(shù)的圖象在點
處的切線方程；
（2）求當(dāng)
，
時，函數(shù)的解析式；
（3）是否存在
，
、
、
、
、
，使得等式
成立？若存在就求出
（、、、、），若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
，且
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求
的極值；
（2）若
，使得不等式
成立，試求實數(shù)
的取值范圍；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
．
（1）若
，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)
．若至少存在一個
，使得
成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)
時，函數(shù)
圖象上的點都在
所表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍． [來源:學(xué)科
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2
(f′(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
(3)求證：
×…×
<
(n≥2，n∈N*)．
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．
在
處的切線與直線
平行，求a的值；
時，求
的單調(diào)區(qū)間．
（
）
時，求函數(shù)
的極值；（2）當(dāng)
時，討論