Question

(北京海淀模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/FONT>R，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f(x)為Ω函數(shù)．

(1)試判斷函數(shù)和中哪些是Ω函數(shù)，并說明理由；

(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)，均有，求證：函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)；

(3)求證：若a＞1，則函數(shù)是Ω函數(shù)．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：(1)∵|x||sin x|≤|x|， 是Ω函數(shù)； ∵， ∴不滿足|f(0)|≤|0|， ∴不是Ω函數(shù)； ∵當(dāng)x=0時(shí)，顯然符合條件；當(dāng)x≠0時(shí)，， ∴是Ω函數(shù)． (2)∵函數(shù)y=f(x)是定義在R的奇函數(shù)， ∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=0． ∴|f(x)－f(0)|≤|x－0|，即|f(x)|≤|x|， ∴函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)． (3)設(shè)F(x)=f(x)－x，則． ①當(dāng)x＞0時(shí)，∵a＞1， ∴， 當(dāng)x=0時(shí)，， ∴當(dāng)x≥0時(shí)，． ∴F(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)． F(x)≤F(0)，又F(0)=f(0)=0， ∴F(x)=f(x)－x≤0． ∵x＞0時(shí)，， ∴函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)， ∴f(x)≥f(0)=0． ∴0≤f(x)≤x，即|f(x)|≤|x|． ②當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴|f(－x)|≤|－x|， 顯然f(x)為偶函數(shù)， ∴|f(x)|≤|－x|，即|f(x)|≤|x|， ∴在R上恒有|f(x)|≤|x|成立，則函數(shù)f(x)一定是Ω函數(shù)．