Question

已知a＞1，在函數(shù)y=log_ax（x≥1）的圖象上有A、B、C三點，它們的橫坐標(biāo)分別為t、t+2、t+4．
（1）若△ABC的面積為S，求S=f（t）；
（2）判斷S=f（t）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）過A，B，C，分別作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x軸，垂足為A₁，B₁，C₁，則S=S梯形AA₁B₁B+S梯形BB₁C₁C-S梯形AA₁C₁C，進(jìn)而得出函數(shù)f（t）的表達(dá)式．
（2）由（1）中得f（t）=log2(1+

4

t2+4t

)，先根據(jù) v＞1，推斷v=t²+4t為增函數(shù)，進(jìn)而推斷函數(shù)f（t）為減函數(shù)．

解答：解：（1）過A，B，C，分別作AA₁，BB₁，CC₁垂直于x軸，垂足為A₁，B₁，C₁，
則S=S梯形AA₁B₁B+S梯形BB₁C₁C-S梯形AA₁C₁C

= 1 2 [logat+loga(t+2)]×2+ 1 2 [loga(t+2)+loga(t+4)]×2- 1 2 [logat+loga(t+4)]×4 =loga (t+2)2 t(t+4) =loga(1+ 4 t2+4t )

（2）因為v=t²+4t在[1，+∞）上是增函數(shù)，且v≥5，u=1+

4

v

在[5．+∞)上是減函數(shù)，且1＜u≤

9

5

；S=logau在(1，

9

5

]上是增函數(shù)，
所以復(fù)合函數(shù)S=f（t）=loga(1+

4

t2+4t

)在[1，+∞)上是減函數(shù)

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．常涉及利用單調(diào)性求函數(shù)的值域和最值等問題．