Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

mx+2

x-1

的圖象關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點，且f(|t-2|+

3

2

)＜2a+f(4a)，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=

mx+2

x-1

的圖象關(guān)于直線y=x對稱，知道原函數(shù)與反函數(shù)解析式一樣，從而求出m的值；
（2）利用定義法證明，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)f（x）的值域求其a的值，再由第二問函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減，求出t的范圍；

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

mx+2

x-1

的圖象關(guān)于直線y=x對稱
∴f-1(x)=

x+2

x-m

∴m=1（5分）
（2）函數(shù)f(x)=

x+2

x-1

在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減     （6分）
設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂則：f(x1)-f(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0（8分）
∴f(x)=1+

3

x-1

在（1，+∞）上的單調(diào)遞減    （10分）
（3）∵函數(shù)f(x)=

x+2

x-1

=1+

3

x-1

∴函數(shù)f(x)=

x+2

x-1

的值域是（-∞，1）∪（1，+∞）
∵直線y=a（a∈R）與f（x）的圖象無公共點
∴y=1，
得a=1，（12分）
又f(|t-2|+

3

2

)＜4=f(2)，
∵f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴|t-2|+

3

2

＞2
∴t＜

3

2

或t＞

5

2

．

點評：此題主要考查反函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的證明及其應(yīng)用，第三問求a的值，是利用函數(shù)f（x）的值域來求，想法比較新穎，是一道好題．