【題目】如圖，在直三棱柱
中， 
、
分別為
、
的中點(diǎn)， 
， 
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若直線
和平面
所成角的正弦值等于
，求二面角
的平面角的正弦值.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
.
【解析】試題分析：（1）要證面面垂直，先證線面垂直， 
平面
，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直線的方向向量，根據(jù)公式得到線面角的正弦值。.
解析：
（1）在直三棱柱中
又
平面
， 
平面
， 
∴
平面
又∵
平面
∴平面
平面
.
（2）由（1）可知
以
點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 
為
軸正方向， 
為
軸正方向， 
為
軸正方向，建立坐標(biāo)系.設(shè)
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
直線
的方向向量
，平面
的法向量
可知
∴
， 
， 
設(shè)平面
的法向量
∴
∴
設(shè)平面
的法向量
∴
∴
記二面角
的平面角為
∴
二面角
的平面角的正弦值為
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)
四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)對(duì)這四件參賽作品預(yù)測(cè)如下：
甲說(shuō)：“是
或
作品獲得一等獎(jiǎng)”； 乙說(shuō)：“ 
作品獲得一等獎(jiǎng)”；
丙說(shuō)：“ 
兩件作品未獲得一等獎(jiǎng)”； 丁說(shuō)：“是作品獲得一等獎(jiǎng)”．
評(píng)獎(jiǎng)揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是_________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，四邊形
是邊長(zhǎng)為2的菱形，且
，
平面，
，
，點(diǎn)
是線段
上任意一點(diǎn)．
(1)證明：平面
平面
；
(2)若
的最大值是
，求三棱錐
的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】關(guān)于函數(shù)
，下列判斷正確的是（ ）
A. 
有最大值和最小值
B. 的圖象的對(duì)稱中心為
（
）
C. 在
上存在單調(diào)遞減區(qū)間
D. 的圖象可由
的圖象向左平移
個(gè)單位而得
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某高校進(jìn)行自主招生選拔，分筆試和面試兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于筆試成績(jī)中位數(shù)的具有面試資格.現(xiàn)有1000余名學(xué)生參加了筆試考試，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間
內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖.
（1）求獲得面試資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線；
（2）從筆試得分在區(qū)間
的學(xué)生中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人，那么從得分在區(qū)間
與
各抽取多少人?
（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加學(xué)校座談交流，學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予300元物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，若該生分?jǐn)?shù)在給予500元物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)，用
表示學(xué)校發(fā)的獎(jiǎng)金數(shù)額，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】由于當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)較重，造成青少年視力普遍下降，現(xiàn)從湖口中學(xué)隨機(jī)抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用視力表檢查得到每個(gè)學(xué)生的視力狀況的莖葉圖（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）如下：
（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）若視力測(cè)試結(jié)果不低于5.0則稱為“好視力”，求校醫(yī)從這16人中選取3人，至多有1人是“好視力”的概率；
（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校（人數(shù)很多）任選3人，記
表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）若
，
，求函數(shù)
在
處的切線方程；
（2）若
，且是函數(shù)
的一個(gè)極值點(diǎn)，確定
的單調(diào)區(qū)間；
（3）若
，
且對(duì)任意
，
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知鮮切花
的質(zhì)量等級(jí)按照花枝長(zhǎng)度
進(jìn)行劃分，劃分標(biāo)準(zhǔn)如下表所示.
花枝長(zhǎng)度 |
|
|
|
鮮花等級(jí) | 三級(jí) | 二級(jí) | 一級(jí) |
某鮮切花加工企業(yè)分別從甲乙兩個(gè)種植基地購(gòu)進(jìn)鮮切花，現(xiàn)從兩個(gè)種植基地購(gòu)進(jìn)的鮮切花中分別隨機(jī)抽取30個(gè)樣品，測(cè)量花枝長(zhǎng)度并進(jìn)行等級(jí)評(píng)定，所抽取樣品數(shù)據(jù)如圖所示.
（1）根據(jù)莖葉圖比較兩個(gè)種植基地鮮切花的花枝長(zhǎng)度的平均值及分散程度(不要求計(jì)算具體值，給出結(jié)論即可)；
（2）若從等級(jí)為三級(jí)的樣品中隨機(jī)選取2個(gè)進(jìn)行新產(chǎn)品試加工，求選取的2個(gè)全部來(lái)自乙種植基地的概率；
（3）根據(jù)該加工企業(yè)的加工和銷售記錄，了解到來(lái)自乙種植基地的鮮切花的加工產(chǎn)品的單件利潤(rùn)為4元；來(lái)自乙種植基地的鮮切花的加工產(chǎn)品的單件成本為10元，銷售率(某等級(jí)產(chǎn)品的銷量與產(chǎn)量的比值)及單價(jià)如下表所示.
三級(jí)花加工產(chǎn)品 | 二級(jí)花加工產(chǎn)品 | 一級(jí)花加工產(chǎn)品 | |
銷售率 |
|
|
|
單價(jià)/(元/件) | 12 | 16 | 20 |
由于鮮切花加工產(chǎn)品的保鮮特點(diǎn)，未售出的產(chǎn)品均可按原售價(jià)的50%處理完畢.用樣本估計(jì)總體，如果僅從單件產(chǎn)品的利潤(rùn)的角度考慮，該鮮切花加工企業(yè)應(yīng)該從哪個(gè)種植基地購(gòu)進(jìn)鮮切花？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)200名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好踢毽子運(yùn)動(dòng)，計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量
的觀測(cè)值
，參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）
| 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 |
A.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”
C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”
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