Question

已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C₁的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切。

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直于l₁，垂足為點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；

（Ⅲ）設(shè)C₂與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R、S在C₂上，且 滿足，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（2）.

【解析】

 解：（1）由                                   （2分）

    由直線

所以橢圓的方程是                                          （4分）

（2）由條件，知|MF₂|=|MP|。即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F₂的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點(diǎn)M的軌跡C₂的方程是。                （8分）

（3）由（2），知Q（0，0）。設(shè)

所以當(dāng)故的取值范圍是。