Question

（2006•上海）已知復(fù)數(shù)w滿足w-4=（3-2w）i（i為虛數(shù)單位），z=

5

w

+|w-2|，求一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．

Answer 1

分析：解法一：由復(fù)數(shù)w滿足w-4=（3-2w）i（i為虛數(shù)單位），利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得w=2-i；再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得z=3+i，再利用實(shí)數(shù)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
解法二：設(shè)w=a+b，（a，b∈Z），∴a+bi-4=3i-2ai+2b，根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可得出w=2-i，以下同解法一．

解答：解：[解法一]∵復(fù)數(shù)w滿足w-4=（3-2w）i，∴w（1+2i）=4+3i，
∴w（1+2i）（1-2i）=（4+3i）（1-2i），
∴5w=10-5i，∴w=2-i．
∴z=

5

2-i

+|2-i-2|=

5(2+i)

(2-i)(2+i)

+1=2+i+1=3+i．
若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根z=3+i，則必有共軛虛根

.

z

=3-i．
∵z+

.

z

=6，z•

.

z

=10，
∴所求的一個(gè)一元二次方程可以是x²-6x+10=0．
[解法二]設(shè)w=a+b，（a，b∈Z），∴a+bi-4=3i-2ai+2b，
得

a-4=2b b=3-2a

解得

a=2 b=-1

，∴w=2-i，
以下解法同[解法一]．

點(diǎn)評：熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)數(shù)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理和根與系數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)相等是解題的關(guān)鍵．