Question

 如圖，已知橢圓過點(diǎn)（1，），離心率為 ，左右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)為直線：上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和為坐標(biāo)原點(diǎn)．

    （Ⅰ） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （Ⅱ）設(shè)直線、斜率分別為．

證明：

（ⅱ）問直線上是否存在一點(diǎn)，

使直線的斜率

滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想以及探求解決新問題的能力。

    【解析】（I）解：因?yàn)闄E圓過點(diǎn)（1，），e=，

    所以，．

    又，

    所以

    故所求橢圓方程為 ．

   （II）（i）設(shè)點(diǎn)P，因?yàn)辄c(diǎn)P不在x軸上，

所以，又

    所以

 

因此結(jié)論成立

   （ⅱ）解：設(shè)，，，．

   

   

   

    故

   

   

    若，須有=0或=1．

    ① 當(dāng)=0時，結(jié)合（�。┑慕Y(jié)論，可得=－2，所以解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）；

    ② 當(dāng)=1時，結(jié)合（�。┑慕Y(jié)論，可得=3或=－1（此時=－1，不滿足≠，舍去 ），此時直線CD的方程為，聯(lián)立方程得，

    因此 ．

    綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為，（，）。