Question

已知函數(shù)f（x）=2x+alnx．
（1）若a＜0證明：對(duì)于任意的兩個(gè)正數(shù)x₁，x₂，總有≥f（）成立；
（2）若對(duì)任意的x∈[1，e]，不等式：f（x）≤（a+3）x-x²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將與f（）進(jìn)行作差與0進(jìn)行比較，利用均值不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判定符號(hào)；
（2）由恒成立，轉(zhuǎn)化成只要：成立，根據(jù)自變量的范圍將a分離出來(lái)，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值即可．
解答：解：（1）由：，
而：，
又因?yàn)椋篴＜0，所以：，即：成立．
（2）由恒成立，即只要：成立；
又x∈[1，e]，易知x-lnx＞0
令（x∈[1，e]），
令：，h（x）_min=h（2）=2-ln2＞0，∴g′（x）＞0
所以：g（x）在x∈[1，e]上為增函數(shù)．
即：
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值，屬于基礎(chǔ)題．