Question

（2007•濰坊二模）某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分；比賽共進行五局，積分有超過5分者比賽結(jié)束，否則繼續(xù)進行．根據(jù)以往經(jīng)驗，每局甲贏的概率為

1

2

，乙贏的概率為

1

3

，且每局比賽輸贏互不受影響．若甲第n局贏、平、輸?shù)牡梅址謩e記為a_n=2、a_n=1、a_n=0n∈N^*，1≤n≤5，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求S₃=5的概率；
（Ⅱ）若隨機變量ξ滿足S_ξ=7（ξ表示局數(shù)），求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）S₃=5，即前3局甲2勝1平，由獨立重復試驗的概率求解即可．
（II）S_ξ=7時，表示甲的得分之和為7，故ξ=4，5，且最后一局甲贏，已的得分之和不超過5，
ξ=4時前三局中贏兩局平一局，第四局贏；
ξ=5時前四局中甲贏兩局平一局輸一局或贏一局平三局，第五局贏．
 利用獨立重復試驗的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．

解答：解：（I）S₃=5，即前3局甲2勝1平．
由已知甲贏的概率為

1

2

，平的概率為

1

6

，輸?shù)母怕蕿?span id="czqyn2z" class="MathJye">

1

3

，
得S₃=5得概率為

C

2 3

(

1

2

)2•

1

6

=

1

8

．
（II）S_ξ=7時，ξ=4，5，且最后一局甲贏，
P(ξ=4)=

C

1 3

(

1

6

)(

1

2

)2(

1

2

)=

1

16

；
P(ξ=5)=

C

1 4

(

1

2

)(

1

6

)3(

1

2

)+

C

1 3

(

1

3

)

C

1 3

(

1

6

)(

1

2

)2(

1

2

)=

1

216

+

1

12

=

19

216

．
ξ的分布列為

∴Eξ=4×

1

16

+5×

1

216

=

149

216

點評：本題考查獨立重復試驗的概率，考查分析問題、解決問題的能力．