Question

（2007•濰坊二模）如圖1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D為AP的中點，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點，將△PCD沿CD折起，使點P在平面ABCD上的射影為點D，如圖2．
（I）求證：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角E-FG-D的一個三角函數(shù)值．

Answer 1

分析：（I）利用E、F、G分別是PC、PD、BC的中點，可得EF∥CD，EG∥PB，利用面面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；
（II）建立空間直角坐標系，求出平面DFG的法向量、平面EFG得法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．

解答：（I）證明：由題意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PD=2．
∵E、F、G分別是PC、PD、BC的中點，
∴EF∥CD，EG∥PB．
又CD∥AB，∴EF∥AB，PB∩AB=B，…（3分）
∴平面EFG∥平面PAB．…（5分）
（II）解：建立空間直角坐標系D-xyz，如圖，則D（0，0，0），F(xiàn)（0，0，1），G（1，2，0），E（0，1，1），

DF

=（0，1，0），

DG

=（1，2，0），

EF

=（0，-1，0），

EG

=（1，1，-1）…（6分）
設(shè)平面DFG的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • DG =0 m • DG =0

，∴

z1=0 x 1+2y1=0

，
令y₁=1得

m

=（-2，1，0）．…（8分）
設(shè)平面EFG得法向量為

n

=(x2，y2，z2)，
則

n • EF =0 n • EG =0

，∴

-y2=0 x 2+y2-z2=0

，
令z₂=1得

n

=（1，0，1），…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-2

5 • 2

=

-2

10

=-

10

5

．
設(shè)二面角E-FG-D為θ，則θ=＜

m

，

n

＞，
所以，二面角E-FG-D的余弦值為-

10

5

．…（12分）

點評：本題考查面面平行，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．