Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-b，g(x)=3a2lnx-2ax(其中a≠0)
（I）求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）若a＞0且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出g′(x)=

-a(2x-3a)

x

，由參數(shù)a的符號不確定故需要分它的符號為正與為負兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（II）求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有公共點，且在該點處的切線相同，故在切點處的導(dǎo)數(shù)相等，函數(shù)值相等，由此兩等量關(guān)系建立方程尋求問題的求解．

解答：解：（I）g′(x)=

-a(2x-3a)

x

（1）當(dāng)a＞0時，由g′(x)＞0?x＜

3

2

a，考慮到x＞0得g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

3

2

a)
（2）當(dāng)a＜0時，g'（x）＞0恒成立，故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）
（II）設(shè)函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有公共點（x₀，y₀）
又f′(x)=x，g′(x)=

3a2

x

-2a
由題意：

1 2 x 2 0 -b=3a2lnx0-2ax0，① x0= 3a2 x0 -2a，②

由②得x₀=a（其中x₀=-3a舍去）
代入到①中得b=

5

2

a2-3a2lna
設(shè)h(a)=

5

2

a2-3a2lna?h′(a)=2a(1-3lna)
考慮到a＞0，由h′(a)＞0?0＜a＜e

1

3

，由h′(a)＜0?a＞e

1

3

所以，h(a)在(0，e

1

3

]上單調(diào)遞增，在[e

1

3

，+∞)上單調(diào)遞減，
故a=e

1

3

時，h(a)即b
取得最大值

3

2

e

2

3

．…（8分）

點評：題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號，本題屬于第一類，本題中第二小題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由于此題是一個存在性問題，首先由題設(shè)條件尋求兩個參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，再由導(dǎo)數(shù)研究b最大值，解題方向多次轉(zhuǎn)換，思維量較大，運算較繁瑣，題目難度較大．