Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右準線是x=1，傾斜角為α=

π

4

的直線l交橢圓于A、B兩點，AB的中點為M(-

1

2

，

1

4

)
（I）求橢圓的方程；
（II）若P、Q是橢圓上滿足|OP|2+|OQ|2=

3

4

的點，若直線OP、OQ的斜率分別為k_OP，k_OQ，求證：|k_OP•k_OQ|是定值．

Answer 1

分析：（I）由于直線AB的傾斜角為

π

4

且過點M(-

1

2

，

1

4

)，可得直線的方程為y=x+

3

4

．代入橢圓方程，整理得(b2+a2)x2+

3

2

a2x+

9a2

16

-a2b2=0，由AB的中點為M(-

1

2

，

1

4

)可得a²=2b²．結合

a2

c

=1可求a，b，c，進而可求橢圓方程
（II）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在橢圓2x²+4y²=1上，由|OP|2+|OQ|2=

3

4

得

x

2 3

+

y

2 3

+

x

2 4

+

y

2 4

=

3

4

，代入可求

解答：解：（I）由于直線AB的傾斜角為

π

4

且過點M(-

1

2

，

1

4

)，
所以直線的方程為y=x+

3

4

．
代入橢圓方程，整理得(b2+a2)x2+

3

2

a2x+

9a2

16

-a2b2=0，

x1+x2

2

=

1

2

×(-

3

2

)×

a2

b2+a2

=-

1

2

，
即a²=2b²．
又

a2

c

=1，聯(lián)立a²=b²+c²，
求得a2=

1

2

，b2=

1

4

．
所以橢圓方程為2x²+4y²=1．…（6分）
（II）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在橢圓2x²+4y²=1上，
由|OP|2+|OQ|2=

3

4

得

x

2 3

+

y

2 3

+

x

2 4

+

y

2 4

=

1 4 (1-2 x 2 3 ) 1 4 (1-2 x 2 4 ) x 2 3 x 2 4

=

1

4

1-2( x 2 3 + x 2 4 )+4 x 2 3 x 2 4 x 2 3 x 2 4

=

1

2

．…（12分）

點評：本題主要考查了利用直線與圓錐曲線的位置關系的性質求解橢圓的方程，解題中要具備較強的計算能力與邏輯推理能力，主要考查了考試的計算能力．