Question

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過3個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是

1

3

，遇到紅燈時停留的時間都是2min．
（1）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；
（2）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈，即這名學(xué)生在第一和第二個路口都沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈，故可求事件A的概率；
（2）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列及期望．

解答：解：（1）設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈”為事件A
即事件A為“這名學(xué)生在第一和第二個路口都沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為P(A)=(1-

1

3

)×(1-

1

3

)×

1

3

=

4

27

…（4分）
（2）由題意，ξ的可能取值為0，2，4，6（單位：min）…（5分）
事件“ξ=2k”表示“這名學(xué)生在上學(xué)路上遇到k次紅燈”（k=0，1，2，3）
∴P（ξ=2k）=

C

k 3

(

1

3

)k(

2

3

)3-k，（k=0，1，2，3）…（9分）
故ξ的分布列為

ξ	0	2	4	6
P	8 27	12 27	6 27	1 27

…（11分）
ξ的期望為Eξ=0×

8

27

+2×

12

27

+4×

6

27

+6×

1

27

=2…（13分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．