Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax+

1-a

x+1

（a≥2）．
（1）當曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線l：y=-2x+1平行時，求a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線l：y=-2x+1平行時，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于參數(shù)a的方程求出其值即可．
（Ⅱ）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中存在參數(shù)a，它的取值范圍對函數(shù)的單調(diào)性有影響，故要對其進行分類討論，在確定的范圍下求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：f′(x)=

1

x+1

-a-

1-a

(x+1)2

=

-x(ax+2a-1)

(x+1)2

，x＞-1，（2分）
（I）由題意可得f′(1)=

1-3a

4

=-2，解得a=3，（3分）
因為f（1）=ln2-4，此時在點（1，f（1））處的切線方程為y-（ln2-4）=-2（x-1），
即y=-2x+ln2-2，與直線l：y=-2x+1平行，故所求a的值為3．（4分）
（II）令f'（x）=0，得到x1=

1

a

-2，x2=0，
由a≥

1

2

可知

1

a

-2≤0，即x₁≤0．（5分）
①即a=

1

2

時，x1=

1

a

-2=0=x2
所以，f′(x)=-

x2

2(x+1)2

≤0，x∈(-1，+∞)，（6分）
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）．（7分）
②當

1

2

＜a＜1時，-1＜

1

a

-2＜0（6分），即-1＜x₁＜0=x₂，
所以，在區(qū)間(-1，

1

a

-2)和（0，+∞）上，f′（x）＜0；（8分）
在區(qū)間(

1

a

-2，0)上，f′（x）＞0．（9分）
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1，

1

a

-2)和（0，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是(

1

a

-2，0)．（10分）
③當a≥1時，x1=

1

a

-2≤-1，
所以，在區(qū)間（-1，0）上f'（x）＞0；（11分）
在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）＜0，（12分）
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．（13分）
綜上討論可得：
當a=

1

2

時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，+∞）；
當

1

2

＜a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1，

1

a

-2)和（0，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是(

1

a

-2，0)；
當a≥1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，求解本題的重點是理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及分類討論的思想方法，分類討論的思想在高中數(shù)學中用途廣泛，其特點是在解題中出現(xiàn)了不確定情況，由分類變不確定為確定．本題運算量較大，思維量也大，易因為馬虎或者耐心不夠而出錯，造成解題失敗，做題時要養(yǎng)成好習慣，要嚴謹，認真．